Resumen—
El experimento se lleva a cabo con dos objetivos fundamentales. En primer lugar, se busca comprender el comportamiento resultante del vaciado de tanques, centrándose en la relación que este fenómeno guarda con el Principio de Torricelli. Además, se pretende analizar y concluir aspectos diversos del movimiento del modelo físico, tanto mediante representaciones gráficas como de manera manual. Posteriormente, se realiza una comparativa entre los resultados obtenidos y los datos teóricos, con el propósito de evaluar la funcionalidad y precisión del experimento.
Palabras clave—
Principio de Torricelli, Vaciado de tanques, Gráficas, Movimiento Potencial, Dependencia altura con velocidad, Modelo Físico.
Abstract—
The experiment is carried out with two fundamental objectives. First, it seeks to understand the behavior resulting from the emptying of tanks, focusing on the relationship that this phenomenon has with Torricelli's Principle. In addition, it is intended to analyze and conclude various aspects of the movement of the physical model, both by means of graphical representations and manually. Subsequently, a comparison is made between the results obtained and the theoretical data, with the purpose of evaluating the functionality and accuracy of the experiment.
Keywords—
Torricelli's Principle, Tank Emptying, Graphs, Potential Motion, Dependence of height with velocity, Physical Model.
Objetivo general.
INTRODUCCIÓN
El vaciado de tanques es una operación esencial en diversas áreas, desde la ingeniería hasta la gestión de recursos hídricos, donde entender y controlar este proceso resulta crucial. En este contexto, el principio de Torricelli, propuesto por Evangelista Torricelli en el siglo XVII, se erige como una herramienta fundamental para explicar la dinámica de los fluidos durante el vaciado de tanques. Este principio establece que la velocidad de salida de un fluido está directamente relacionada con la raíz cuadrada de la altura del líquido en el tanque. En esta investigación, determinaremos la importancia de comprender el vaciado de tanques y cómo el principio de Torricelli se convierte en un elemento esencial para abordar estos procesos, tanto desde un enfoque teórico como práctico.
II. MARCO TEÓRICO
Principio de Torricelli:
Está enfocada con el flujo de fluidos, específicamente en líquidos y gases es aplicado, donde se establece que la velocidad de un fluido es dependiente de la altura en la que este se encuentre en un recipiente cerrado, la ecuación que describe este movimiento es conocida de la siguiente forma:
Vista desde un método gráfico se entiende que esta es una ecuación potencial lo que describe a sí mismo a su gráfica. De la misma manera esta se puede dar por medio de una ecuación diferencial dada de la siguiente forma:
Donde por términos de constantes se determina que:
Por consiguiente la ecuación quedaría dada de la siguiente forma:
Método Capilar
Ahora el método capilar o mejor dicho de otra forma, el fenómeno capilar se evidencia cuando un fluido fluye por una superficie porosa o estrecha, como consecuencia se da el fenómeno por las fuerzas intermoleculares y tensión superficial del líquido. Ahora, este se utiliza en diferentes contextos donde se involucran esta acción de fuerzas capilares en este caso el ejercicio establecido hace referencia los procesos industriales donde pueden ser por ejemplo distribución de líquidos en espacios pequeños o sistemas de microfluídica.
Método del viscosímetro de Bola
Este método desde su nombre nos indica que es aplicado precisamente para medir la viscosidad de un fluido, es utilizado en líquidos donde una bola esférica se deja caer a través de este y la velocidad en la que caiga determina la viscosidad del líquido.
El principio que hay detrás de este método es el de Stokes el cual relaciona la fuerza de arrastre de una bola esférica.
III. METODOLOGÍA Y MATERIALES
Partiendo de la ecuación (1), la cual es una ecuación diferencial ordinaria de grado 1. Antes de todo hay que resolverla.
Se procede con el método de separación de variables.
Y se integra a ambos lados, dejando la ecuación de la siguiente manera:
Se puede pasar la C1 a restar con la otra constante, luego de divide todo entre 2, y una constante entre 2 solo nos da otra constante:
Para hallar C se toma to=0 y h=Ho
Y así queda la ecuación que describe el comportamiento del modelado de vaciado de tanques.
Cabe aclarar que la constante K es
donde r es igual al radio del agujero, mientras que R es el radio del cilindro, y g la gravedad. Cabe aclarar que la relación que hay entre los radios debe ser r<<<R
Para el inicio del modelado se compró un cilindro de acrílico destapado por un lado, este cilindro es de un diámetro interno de 8 cm y una altura de 40 cm. Posteriormente se hace un agujero en la parte de abajo (centrado) con un diámetro de 1⁄8 de pulgada, es decir aproximadamente 3.175 mm. Para poner el cilindro en una superficie elevada en el cual el agua puede salir de manera laminar, se creó una base con palos de balso, tal como se aprecia más adelante, luego se ponen las medidas en cm.
Figura 1. Cilindro utilizado para el montaje
Figura 2. Diámetro de salida y del tanque
Figura 3. Soporte cilindro
Ahora se pasa a la toma de datos del montaje, utilizando el cilindro anterior, se evaluará el cambio de altura del líquido, debido a su salida por el agujero de abajo, con respecto al tiempo. Esta toma de datos consta de dos partes, una donde se hace de manera visual al grabar un video del modelado y tomar el tiempo entre cm. La otra es con el software “tracker” donde se hace la toma de datos fotograma por fotograma, de esta manera se logran conseguir muchos más datos que de la manera visual, alcanzando unos 800 datos.
Figura 4. Video vaciado de tanque experimental
Nota: para la visualización del video dar doble click sobre la imagen.
En primer lugar se pasa a la recopilación de datos de forma manual, donde se organizan los datos en la siguiente tabla.
TABLA 1
COLECCIÓN DE DATOS ALTURA VERSUS TIEMPO
h (m) | t (s) |
0.4 | 0 |
0.39 | 2.52 |
0.38 | 5.21 |
0.37 | 7.69 |
0.36 | 10.45 |
0.35 | 13.51 |
0.34 | 15.93 |
0.33 | 18.95 |
0.32 | 21.89 |
0.31 | 25.35 |
0.3 | 27.9 |
0.29 | 31.69 |
0.28 | 34.35 |
0.27 | 37.42 |
0.26 | 41.08 |
0.25 | 43.23 |
0.24 | 47.55 |
0.23 | 50.54 |
0.22 | 54.17 |
0.21 | 57.77 |
0.2 | 60.78 |
0.19 | 64.45 |
0.18 | 68.18 |
0.17 | 72.82 |
0.16 | 76.93 |
0.15 | 80.71 |
0.14 | 85.01 |
0.13 | 89.45 |
0.12 | 94.92 |
0.11 | 100.01 |
0.1 | 104.19 |
0.09 | 110.46 |
0.08 | 116.42 |
0.07 | 122.96 |
0.06 | 130.49 |
0.05 | 136.11 |
0.04 | 146.33 |
0.03 | 155.69 |
0.02 | 167.66 |
0.01 | 182.57 |
Con esta información se pasa a realizar la gráfica de los datos obteniendo lo siguiente.
Figura 5. Gráfica altura vs tiempo
De lo anterior se obtiene una relación polinómica, esta relación será explicada en la parte del análisis de resultados.
En la siguiente parte la idea es linealizar los datos para esto se aplica raíz cuadrada en la altura obteniendo lo siguiente.
TABLA 2
COLECCIÓN DE DATOS RAÍZ CUADRADA DE ALTURA VERSUS TIEMPO
√h (m) | t (s) |
0.632455532 | 0 |
0.6244997998 | 2.52 |
0.6164414003 | 5.21 |
0.608276253 | 7.69 |
0.6 | 10.45 |
0.5916079783 | 13.51 |
0.5830951895 | 15.93 |
0.5744562647 | 18.95 |
0.5656854249 | 21.89 |
0.5567764363 | 25.35 |
0.5477225575 | 27.9 |
0.5385164807 | 31.69 |
0.5291502622 | 34.35 |
0.5196152423 | 37.42 |
0.5099019514 | 41.08 |
0.5 | 43.23 |
0.4898979486 | 47.55 |
0.4795831523 | 50.54 |
0.469041576 | 54.17 |
0.4582575695 | 57.77 |
0.4472135955 | 60.78 |
0.4358898944 | 64.45 |
0.4242640687 | 68.18 |
0.4123105626 | 72.82 |
0.4 | 76.93 |
0.3872983346 | 80.71 |
0.3741657387 | 85.01 |
0.3605551275 | 89.45 |
0.3464101615 | 94.92 |
0.331662479 | 100.01 |
0.316227766 | 104.19 |
0.3 | 110.46 |
0.2828427125 | 116.42 |
0.2645751311 | 122.96 |
0.2449489743 | 130.49 |
0.2236067977 | 136.11 |
0.2 | 146.33 |
0.1732050808 | 155.69 |
0.1414213562 | 167.66 |
0.1 | 182.57 |
Con lo anterior se pasa a graficar el comportamiento de la raíz cuadrada de la altura versus el tiempo.
Figura 6. Gráfica raíz cuadrada de altura vs tiempo
Con esto se comprueba que al sacar la raíz cuadrada de la altura se obtendrá un comportamiento lineal en los datos obtenidos.
Para saber la veracidad de los datos obtenidos, se utiliza la plataforma “Tracker” como otra fuente de análisis de los datos.
Figura 7. Gráfica de altura vs tiempo dada por tracker
Dicha gráfica fue dada por el mismo tracker, junto con la ecuación que se puede apreciar en el anexo (1). Sin embargo, para el análisis de las ecuaciones de las gráficas se decide pasar los datos a un excel y hacer las gráficas desde allí. Teniendo al principio la gráfica de h(m) vs t(s).
IV. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Basándonos en los resultados obtenidos, tanto a través de representaciones gráficas manuales (utilizando Excel) como con el respaldo del software Tracker, podemos afirmar que concuerdan con las expectativas previas. Estos resultados están alineados con la teoría fundamentada en el principio de Torricelli, que describe un movimiento potencial. Desde esta perspectiva, la velocidad de salida del fluido es dependiente de la altura en el recipiente.
Considerando la precisión de la recopilación de datos, en la evaluación minuciosa mediante la herramienta Excel. Siendo una de las fases más detalladas del proceso, se examinaron los diversos frames del video. Inicialmente, se tomaron datos a partir de 8 divisiones que se le estipularon a el tanque. No obstante, para mejorar la precisión del ejercicio, se generaron subdivisiones adicionales, posibilitando así la construcción de una gráfica más densa en datos. Este enfoque ha contribuido significativamente a un análisis más preciso y detallado.
Por otro lado, si bien inicialmente se planteó la hipótesis de que el movimiento estaría influenciado por el volumen en lugar de la altura, los datos recopilados confirman la relación propuesta por el principio de Torricelli. En otras palabras, se observa que a mayor altura, se registra una mayor velocidad, sin dejar de lado que el volumen es un aspecto importante e influyente, solo que en esta ocasión la base es el principio de Torricelli, el cual se fundamenta con la altura a la que se encuentre el fluido.
El éxito del experimento también se atribuye a la meticulosa configuración del montaje, que siguió parámetros teóricos y prácticos esenciales. La elección del líquido, en este caso, agua con una viscosidad de aproximadamente 1 centipoise, es una viscosidad baja en comparación a otros fluidos como la miel y el aceite, esto permite un movimiento fluido y facilitó la toma de datos precisa tanto en Excel como en el software Tracker.
Además, se garantizó la coherencia con la relación de los diámetros, asegurándose de que el radio de salida del agua (r) fuera considerablemente menor que los radios del contenedor (R).
La selección de un tanque de material rígido y liso, como el acrílico, contribuyó a la correcta aplicación del principio de Torricelli en el experimento. Cabe destacar que, de haber utilizado un recipiente estrecho, rugoso o no rígido, se hubiera necesitado considerar las fuerzas capilares mediante el método capilar. En resumen, la rigurosidad en la elección de los parámetros y materiales ha respaldado de manera efectiva la validez de los resultados obtenidos.
Ahora por parte del análisis de las gráficas, se tiene una recta con la forma y=mx+b, donde cada una de las variables se puede relacionar con la ecuación h=-k2t+H0 al linealizarla, donde b sería H0 y la variable Y sería h. En la primera parte del procedimiento se encuentra la ecuación linealizada de la figura 6. siendo esta y=-0.00295x+0.629 y al compararla con los datos teóricos podemos evidenciar que no hay gran diferencia entre los datos, dado que H0 donde H0es la altura inicial de 0.4m y la raíz de esto es 0.632. Por otra parte,-k/2 al calcularlo da 0.0035 y de manera teórica da 0.003. Posteriormente, se linealiza la gráfica de la figura X. y se compara con los datos anteriores y podemos evidenciar que entre la ecuación linealizada experimental y=-0.00293x+0.633 y la ecuación teórica y=-0.0035x+0.632 hay mayor exactitud en el valor de B, con un porcentaje de error de menos del 1%; pero en el valor de la pendiente sigue siendo cercano al valor teórico, con un porcentaje de error del 16%, sin embargo la primera parte fue más precisa y esto se debe a que se tuvo que hacer prácticamente manual dado que el programa no reconocía al objeto y por esta razón tuvimos que seleccionar el lugar en el que se encontraba el objeto en cada instante de tiempo, pero esto no influyó demasiado puesto que no hubo un error que impacte de manera significativa.
V. CONCLUSIÓN
Se comprendieron los conceptos básicos del teorema de Torricelli y Bernoulli, así como también sus diferentes usos y aplicaciones en varios campos de estudio como este caso.
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